齐次坐标

齐次坐标是一种在计算机图形学和几何学中常用的坐标系统，它扩展了传统的二维或三维坐标系统，允许表示点和向量。在齐次坐标中，每个点或向量由一个额外的坐标分量扩展，这个分量通常被称为齐次坐标。

齐次坐标的定义

• 二维齐次坐标：一个二维点 $(x,y)$ 在齐次坐标中的表示为 $(x,y,w)$，其中 $w$ 是齐次坐标分量。
• 三维齐次坐标：一个三维点 $(x,y,z)$ 在齐次坐标中的表示为 $(x,y,z,w)$。

齐次坐标的应用

1. 投影和透视变换：齐次坐标简化了投影和透视变换的数学表达，使得这些变换可以通过矩阵乘法来实现。
2. 向量表示：在齐次坐标中，向量可以用一个额外的分量 $w=0$ 来表示，这使得点和向量在数学上统一。
3. 交点计算：在直线和平面的交点计算中，齐次坐标可以简化计算过程，尤其是在处理无穷远点时。
4. 几何变换：包括平移、旋转、缩放等，都可以用齐次坐标和矩阵表示。

齐次坐标的转换

• 将非齐次坐标转换为齐次坐标通常通过添加一个额外的分量 $w$ 来实现，对于点通常是 $w=1$。
• 将齐次坐标转换回非齐次坐标，可以通过将所有坐标除以齐次分量 $w$ 来实现，前提是 $(w\ne 0)$。

例子

考虑一个二维点 $P(x,y)$，其齐次坐标可以表示为 $(x,y,1)$。如果我们要对这个点进行一个缩放变换 $k$，我们可以通过以下矩阵乘法来实现：

$$\left[\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}kx\\ ky\\ 1\end{array}\right]$$

这样，点 $P$ 就被缩放了 $k$ 倍，而齐次坐标系统保持了变换的一致性和简洁性。